篇一：“坐标系与参数方程”高考考查分析
坐标系与参数方程
主标题：坐标系与参数方程 副标题：为学生详细的分析坐标系与参数方程的高考考点、命题方向以及规律总结。
关键词：极坐标，参数方程 难度：3 重要程度：5
考点剖析：
1．理解坐标系的作用．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化 情况． 2．会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化． 3．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆) 表示的极坐标方程. 4．了解参数方程，了解参数的意义． 5．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程． 6．掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相 关问题.
命题方向：高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程 与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用．以极坐标、参数方程与普 通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识．
规律总结：1．主要题型有极坐标方程、参数方程和普通方程的互化，在极坐标方程或参数
方程背景下的直线与圆的相关问题．
2．规律方法
方程解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题，将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化
为普通方程，有助于对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的
目的，这是化归与转化思想的应用．在涉及圆、椭圆的有关最值问题时，若能将动点的坐标
用参数表示出来，借助相应的参数方程，可以有效地简化运算，从而提高解题的速度．
3．极坐标方程与普通方程互化核心公式
x＝ρcos θ
y＝ρsin θ
ρ2＝x2＋y2
， tan
θ＝yx
x≠0
.
4．过点 A(ρ0，θ0) 倾斜角为 α 的直线方程为 ρ＝ρ0ssiinnθθ－0－αα.特别地，①过点 A(a,0)，垂直于
极轴的直线 l 的极坐标方程为 ρcos θ＝a.②平行于极轴且过点 A(b，π2)的直线 l 的极坐标方程
为 ρsin θ＝b.
5．圆心在点 A(ρ0，θ0)，半径为 r 的圆的方程为 r2＝ρ2＋ρ20－2ρρ0cos(θ－θ0)．
6．重点掌握直线的参数方程xy＝ ＝xy00＋＋ttcsions
θ θ
(t 为参数)，理解参数 t 的几何意义.
知识梳理
1．直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取 相同的长度单位．如图，设 M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极 坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则
x＝ρcos θ
y＝ρsin θ
ρ2＝x2＋y2
， tan
θ＝yxx≠0
.
2．直线的极坐标方程 若直线过点 M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为 α，则它的方程为 ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程
(1)直线过极点：θ＝α；
(2)直线过点 M(a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a；
(3)直线过点 M(b，π2)且平行于极轴：ρsin θ＝b. 3．圆的极坐标方程 若圆心为 M(ρ0，θ0)，半径为 r 的圆的方程为 ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r2＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程
(1)当圆心位于极点，半径为 r：ρ＝r；
(2)当圆心位于 M(r,0)，半径为 r：ρ＝2rcos θ；
(3)当圆心位于 M(r，π2)，半径为 r：ρ＝2rsin θ. 4．直线的参数方程
过定点
M(x0，y0)，倾斜角为
α
的直线
l
的参数方程为x＝x0＋tcos α， y＝y0＋tsin α
(t 为参数)．
5．圆的参数方程
圆心在点
M(x0，y0)，半径为
r
的圆的参数方程为x＝x0＋rcos θ， y＝y0＋rsin θ
(θ 为参数，0≤θ≤2π)．
6．圆锥曲线的参数方程
(1)椭圆ax22＋by22＝1
的参数方程为x＝acos y＝bsin
θ， θ
(θ 为参数)．
(2)抛物线 y2＝2px(p>0)的参数方程为yx＝＝22pptt2， (t 为参数)．
篇二：“坐标系与参数方程”高考考查分析
高三复习微专题
坐标系与参数方程
一．近三年高考真题回顾
1．【2019
年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为
x
1 1
t t
2 2
，
（t
为参数）．以
y
4t t
坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为
2 cos 3 sin 11 0 ．
（1）求 C 和 l 的直角坐标方程；
（2）求 C 上的点到 l 距离的最小值．
【答案】（1） x2 y2 1(x 1) ；
l 的直角坐标方程为 2x 3y 11 0 ；（2） 7 ． 4
【解析】（1）因为
1 1
t t
2 2
1 ，且
x2
y 2
t2 t2
4t 2 1 t2
1，所以C的直角坐标方程为
x2 y2 1(x 1) ． 4
l 的直角坐标方程为 2x 3y 11 0 ．
（2）由（1）可设C的参数方程为
x
y
cos, 2sin
（
为参数， π
π
）．
C上的点到 l 的距离为 | 2 cos 2
sin
11 |
cos
π 3
11
．
当
2π 3
时，
4 cos
π 3
11
取得最小值7，故C上的点到 l
距离的最小值为
7．
【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最
值问题．求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求
解问题．
2．【2019 年高考全国Ⅱ卷文数】在极坐标系中，O 为极点，点 M (0 ,0 )(0 0) 在曲线 C : 4sin 上，
直线 l 过点 A(4, 0) 且与 OM 垂直，垂足为 P．
（1）当0
=
3
时，求
0
及
l
的极坐标方程；
（2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程．
【答案】（1） 0 2
，l
的极坐标方程为
cos
3
；
（2） 4 cos ,
4
,
2
．
【解析】（1）因为
M
0,0
在C上，当0
3
时，
0
4 sin
3
3．
由已知得| OP || OA | cos 2 ． 3
设
Q(,
)
为l上除P的任意一点．在
Rt△OPQ
中，
cos
3
|
OP
|
，
经检验，点
P(2,
) 3
在曲线
cos
3
上．
所以，l的极坐标方程为
cos
3
．
（2）设 P(, ) ，在 Rt△OAP 中，| OP || OA | cos 4cos, 即 4cos ．
因为P在线段OM上，且
AP
OM
，故
的取值范围是
4
,
2
．
所以，P点轨迹的极坐标方程为 4 cos ,
4
,
2
．
【名师点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型．
3．【2019 年高考全国Ⅲ卷文数】如图，在极坐标系 Ox 中， A(2, 0) ， B( 2, ) ，C( 2, ) ， D(2, ) ，
弧
AB
，
BC
，CD
所在圆的圆心分别是
(1,
0)
，(1,
2
)
，
(1,
)
，曲线
M1
是弧
AB
，曲线
M
是弧
BC
，
曲线 M3 是弧 CD ．
（1）分别写出 M1 ， M 2 ， M3 的极坐标方程；
（2）曲线 M 由 M1 ， M 2 ， M3 构成，若点 P 在 M 上，且| OP | 3 ，求 P 的极坐标．
【答案】（1）
M1
的极坐标方程为
2 cos
0
π 4
，
M2
的极坐标方程为
2 sin
π 4
3π 4
，
M3 的极坐标方程为
2 cos
3π 4
π
．
（2）
3,
π 6
或
3,
π 3
或
3,
2π 3
或
3,
5π 6
．
【解析】（1）由题设可得，弧 AB, BC,CD 所在圆的极坐标方程分别为 2cos ， 2sin ， 2cos ．
所以
M1
的极坐标方程为
2 cos
0
π 4
，M
的极坐标方程为
2 sin
π 4
3π 4
，M 3
的极坐标方程为
2 cos
3π 4
π
．
（2）设 P(, ) ，由题设及（1）知
若 0 π ，则 2 cos 3 ，解得 π ；
若 π 3π ，则 2sin 3 ，解得 π 或 2π ；
若 3π π ，则 2 cos 3 ，解得 5π ．
综上，P的极坐标为
3,
π 6
或
3,
π 3
或
3,
2π 3
或
3,
5π 6
．
【名师点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题．
4．【
2019
年高考江苏
卷数学】
在极坐标
系中，已知
两点
A
3,
4
,
B
2,
2
，
直
线
l
的
方
程
为
sin
4
．
（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离．
【答案】（1） 5 ；（2）2．
【解析】（1）设极点为O．在△OAB中，A（3， ），B（ 4
，
2
），
由余弦定理，得AB= 32 ( 2)2 2 3 2 cos( ) 5 ． 24
（2）因为直线l的方程为 sin( ) 3 ， 4
则直线l过点 (3 2, ) ，倾斜角为 3 ．
又 B( 2, ) ，所以点B到直线l的距离为 (3 2 2
2)sin(3 ) 2 ． 42
【名师点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．
5．【2018 年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的方程为 y k|x| 2 ．以坐标原点为极点，
x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 2 2 cos 3 0 ．
（1）求 C2 的直角坐标方程；
（2）若 C1 与 C2 有且仅有三个公共点，求 C1 的方程．
【答案】（1） C2
的直角坐标方程为 (x
1)2
y2
4 ．；（2） C1 的方程为
y
4 3
|
x
|
．
【解析】（1）由 x cos ， y sin 得 C2 的直角坐标方程为 (x 1)2 y2 4 ．
（2）由（1）知 C2 是圆心为 A(1, 0) ，半径为 2 的圆．
由题设知， C1 是过点 B(0, 2) 且关于 y 轴对称的两条射线．记 y 轴右边的射线为 l1 ， y 轴左边的射线为
l2 ．由于 B 在圆 C2 的外面，故 C1 与 C2 有且仅有三个公共点等价于 l1 与 C2 只有一个公共点且 l2 与 C2 有
两个公共点，或 l2 与 C2 只有一个公共点且 l1 与 C2 有两个公共点．
当
l1
与 C2
只有一个公共点时，
A
到
l1
所在直线的距离为
，所以
|
k 2 | k2 1
2 ，故
k
4 3
或k
0．
经检验，当
k
0 时，l1
与
C2
没有公共点；当
k
4 3
时， l1
与 C2
只有一个公共点，l2
与 C2
有两个公共
点．
当 l2
与 C2
只有一个公共点时，
A 到 l2
所在直线的距离为 2
，所以
|
k 2| k2 1
，故 k
0或k
4 3
．
经检验，当
k
0 时， l1
与 C2
没有公共点；当
k
4 3
时， l2
与 C2
没有公共点．
综上，所求
C1
的方程为
y
4 3
|
x
|
．
6．【2018
年高考全国Ⅱ卷文数】在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为
x
y
2 cos θ 4sin θ
， （
θ
为参数），
直线
l
的参数方程为
x y
1 t cos α ， （
2 t sin α
t
为参数）．
（1）求 C 和 l 的直角坐标方程；
（2）若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为 (1, 2) ，求 l 的斜率．
【答案】（1）曲线 C 的直角坐标方程为 x2 y2 1，l 的直角坐标方程为 x 1 ；（2）l 的斜率为 2 ． 4 16
【解析】（1）曲线 C 的直角坐标方程为 x2 y2 1． 4 16
当 cos 0 时， l 的直角坐标方程为 y tan x 2 tan ，
当 cos 0 时， l 的直角坐标方程为 x 1．
（2）将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程，整理得关于 t 的方程
(1 3cos2 )t2 4(2 cos sin )t 8 0 ．①
因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点 (1, 2) 在 C 内，所以①有两个解，设为 t1 ， t2 ，则 t1 t2 0 ．
又由①得 t1
t2
4(2cos sin ) 1 3cos2
，故 2cos
sin
0 ，于是直线 l
的斜率 k
tan
．
7．【2018
年高考全国Ⅲ卷文数】在平面直角坐标系
xOy
中， ⊙O
的参数方程为
x y
cos，（ sin
为参数），
过点 0， 2 且倾斜角为 的直线 l 与⊙O 交于 A，B 两点．
（1）求 的取值范围；
（2）求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程．
【答案】（1）
的取值范围是 (
,
) ．；（2）点
P
的轨迹的参数方程是
x
2 sin 2 , 2
(
44
y
2 2
2 cos 2 2
为参数， ) ．
【解析】（1） O 的直角坐标方程为 x2 y2 1．
当 时， l 与 O 交于两点． 2
当 时，记 tan k ，则 l 的方程为 y kx 2 ． l 与 O 交于两点当且仅当| 2 | 1 ，解
1 k2
得 k 1或 k 1，即 ( , ) 或 ( , ) ．
42
24
综上， 的取值范围是 ( , ) ． 44
（2）
l
的参数方程为
x
t
cos
,
(t 为参数， ) ．
y 2 t sin
设
A ， B ， P 对应的参数分别为 t A ， tB
，tP
，则 tP
tA
tB 2
，且 t A ， tB
满足 t 2
2t sin 1 0 ．
于是 tA tB 2 2 sin ， tP
sin
．又点
P
的坐标
(
x,
y
)
满足
x
t
P
cos
,
y 2 tP sin.
所以点
P
的轨迹的参数方程是
x
2 sin 2 , 2
( 为参数， ) ．
y
2 2
2 cos 2 2
8．【2018 年高考江苏卷数学】在极坐标系中，直线 l 的方程为 sin( π ) 2 ，曲线 C 的方程为 6
4cos ，求直线 l 被曲线 C 截得的弦长．
【答案】直线 l 被曲线 C 截得的弦长为 2 3 ． 【解析】因为曲线 C 的极坐标方程为 =4 cos ，
所以曲线 C 的圆心为（2，0），直径为 4 的圆．
因为直线 l 的极坐标方程为 sin( π ) 2 ， 6
则直线 l 过 A（4，0），倾斜角为 π ， 6
所以 A 为直线 l 与圆 C 的一个交点．
设另一个交点为 B，则∠OAB= π ． 6
连结 OB，因为 OA 为直径，从而∠OBA= π ， 2
所以 AB 4 cos π 2 3 ． 6
因此，直线 l 被曲线 C 截得的弦长为 2 3 ．
9．【2017
年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为
x
y
3cos sin ,
,
（θ
为参数），
直线
l
的参数方程为
x y
a 4t（, t为参数）． 1 t,
（1）若 a 1，求 C 与 l 的交点坐标；
（2）若 C 上的点到 l 距离的最大值为 17 ，求 a ．
【答案】（1） (3, 0) ， ( 21 , 24) ；（2） a 8 或 a 16 ． 25 25
【解析】（1）曲线 C 的普通方程为 x2 y2 1． 9
当 a 1时，直线 l 的普通方程为 x 4y 3 0．
由
x4 x2 9
y y
3 2 1
0,
解得
x y
3, 0
或
x y
21 25
24 . 25
,
从而 C 与 l 的交点坐标为 (3, 0) ， ( 21 , 24) ． 25 25
（2）直线 l 的普通方程为 x 4y a 4 0 ，故 C 上的点 (3cos,sin ) 到 l 的距离为
d | 3cos 4sin a 4 | ． 17
当 a 4 时， d 的最大值为 a 9 ． 17
由题设得 a 9 17 ，所以 a 8 ；
17
当 a 4 时， d 的最大值为 a 1 ． 17
由题设得 a 1 17 ，所以 a 16 ． 17
综上， a 8 或 a 16 ．
【名师点睛】本题为选修内容，先把直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，可得交点坐
标，利用椭圆的参数方程，求椭圆上一点到一条直线的距离的最大值，直接利用点到直线的距离公式，
表示出椭圆上的点到直线的距离，利用三角有界性确认最值，进而求得参数 a 的值．
10．【2017 年高考全国Ⅱ卷文数】在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐
标系，曲线 C1 的极坐标方程为 cos 4 ．
（1）M 为曲线 C1 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足| OM | | OP | 16 ，求点 P 的轨迹 C2 的直角
坐标方程；
（2）设点
A
的极坐标为
(2,
3
)
，点
B
在曲线
C2
上，求
△OAB
面积的最大值．
【答案】（1） x 22 y2 4 x 0 ；（2） 2 3 ．
【解析】（1）设 P 的极坐标为 (, ) ( 0) ，M 的极坐标为 (1, ) (1 0) ，
由题设知 OP =, OM
=
1 =
4 cos
．
由 OM OP 16得 C2 的极坐标方程 4cos ( 0) ．
因此 C2 的直角坐标方程为 x 22 y2 4 x 0 ． （2）设点 B 的极坐标为 B, B 0 ，
由题设知 OA 2, B 4cos ，于是△OAB 的面积
S
1 2
OA
B
sin
AOB
4 cos | sin(
) 3
|
2|
sin(2
) 3
3 |2 2
3.
当 时，S 取得最大值 2 3 ，所以△OAB 面积的最大值为 2 3 ． 12
【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用。重点考查了转化与化归能力．遇到求曲线交点、
距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接
利用极坐标的几何意义求解．解题时要结合题目自身特点，确定选择何种方程．
11．【2017
年高考全国Ⅲ卷文数】在直角坐标系
xOy
中，直线
l1
的参数方程为
x y
2+t, kt,
（t
为参数），直
x 2 m,
线
l2
的参数方程为
y
m k
,
（m为参数）．设 l1 与 l2 的交点为 P，当 k 变化时，P 的轨迹为曲线 C．
（1）写出 C 的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 l3 : cos sin 2 0 ，M 为 l3
与 C 的交点，求 M 的极径．
【答案】（1） x2 y2 4 y 0 ；（2） 5
【解析】 （1）消去参数 t
得 l1
的普通方程 l1
:
y
k
x
；消去参数
m
得
l2
的普通方程 l2
:
y
1 k
x
．
y k x 2
设
P
x,
y
，由题设得
y
1 k
x
，消去
k
得
x2
y2
y
0
．
所以 C 的普通方程为 x2 y2 4 y 0 ．
（2）C 的极坐标方程为 2 cos2 sin2 40 2π, π ．
联立
cos2 sin2
4,
得 cos sin 2cos sin ．
cos sin 2 0
故 tan 1 ，从而 cos2 9 ,sin2 1 ．
代入 2 cos2 sin2 4 得 2 5 ，所以交点 M 的极径为 5 ．
【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力．遇到求曲线交点、
距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接
利用极坐标的几何意义求解．要结合题目本身特点，确定选择何种方程．
x 8 t
12．【2017
年高考江苏卷数学】在平面直角坐标系
xOy
中，已知直线
l
的参考方程为
y
t 2
（ t 为参数），
曲线
C
的参数方程为
x
2s
（ s 为参数）．设 P 为曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 l 的距离的最小
y 2 2s
值．
【答案】 4 5 5
【解析】直线 l 的普通方程为 x 2 y 8 0．
因为点 P 在曲线 C 上，设 P(2s2 , 2 2s) ，
从而点
P
到直线 l
的的距离
d
|
2s2 4 12
2s 8 | (2)2
2(s
2)2 4
，
当s
时， dmin
45 5
．
因此当点 P 的坐标为 (4, 4) 时，曲线 C 上点 P 到直线 l 的距离取到最小值 4 5 ． 5
【名师点睛】（1）将参数方程化为普通方程，消参数时常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法；
（2）把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中 x 及
y 的取值范围的影响．
二．特色解读
命题延续了以往对主干知识的考查，以直线、椭圆参数方程为背景，求曲线的交点坐标和最值问题， 注重基本运算及知识的应用，中规中矩，基本符合预期.。可以看出，高考课标卷对《坐标系与参数方程》 的考查主要体现在平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；常见曲线（直线、圆、椭圆、 抛物线）的参数方程及参数方程的简单应用，以极坐标、参数方程与普通方程的互化，直线与曲线位置关 系为主要考查形式.
知识：极坐标方程 普通方程 参数方程之间转化；
意义
考查方向
极坐标 极径 到极点的距离 PO ；
所在直线过极点的两 点间的距离；
极坐标 极角 与极轴的旋转角 Pox ；
表示点的极坐标；
直线上两点的距离
参数 直线
到定点所成的数量 P0 P t ；
（和、积、中点）等；
方程
圆
表示出圆上的点（ r cos, r sin ）；
参数
轨迹、交点个数、距
椭圆
表示出椭圆上的点（ a cos,bsin ）；
方程
离（最值）等问题；
抛物线 表示出抛物线上的点（ 2 pt2 , 2 pt ）；
2．能力 （1）通过不同坐标系或不同形式的方程之间转换，考查运算求解能力. （2）某些情景下普通方程不易解决的问题，利用极坐标方程和参数方程解题具有优越性，因些，极坐 标的几何意义，参数方程的应用是高考命题的频点.
3．思想方法
（1）通过极坐标或参数方程解决直线、圆、椭圆等问题，考查数形结合思想. （2）解决问题时采用何种形式的方程比较方便，考查化归与转化思想.
三、复习启示
1. 重视基础知识的复习 ①写出点的极坐标，与直角坐标的互化；
②写出圆、椭圆、抛物线或相关轨迹的参数方程；
③极坐标方程、参数方程、普通方程的互化；不断强化，提高准确率，减少失误.
2. 重视化归与转化思想方法 较多关注参数方程和极坐标方程的应用，如：
①极坐标 的几何意义；
②直线标准参数 t 的几何意义；
③圆、椭圆的三角参数；提高应用意识.
3. 重视知识的交汇联系 ①解析几何中直线与圆、椭圆、抛物线的交点、距离等问题；
②三角恒等变换（辅助角公式）等知识；以横向联系和纵向联系为主线，对模块内容加以整合，优化 认知结构，构建良序的知识网络.
四、佳题欣赏
【例题一】（2017 年厦门市第二次检测）
x 1 t cos
在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为
（ t 为参数），其中 0 .在
y 3 t sin
以 O 为极点，错误!未找到引用源。轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C1 ：
4 cos .直线 l 与曲线 C1
相切.
（Ⅰ）将曲线 C1 的极坐标方程化为直角坐标方程，并求 的值；
（Ⅱ）已知点 Q(2，0) ，直线 l 与 C2 ：
x2
y2 3
1交于 A，B 两点，求 ABQ面积.
【 解 析 】（ Ⅰ ） C1 的 普 通 方 程 为 x2 y2 4x 0 ， 将 直 线 l 参 数 方 程 代 入 曲 线 得 t 2 (2 3 sin 2 cos )t 0 ， 0
（
Ⅱ
）
将直
线
l
的
参
数
方程
为
x 1
3t 2
代 入 曲 线 得 5t 2 8 3t 6 0
y
31t 2
AB t1 t2 (t1 t2 )2 4t1t2 .
考查知识：把圆的极坐标方程化为普通方程，直线与圆相切，直线与曲线相交的距离.
【例题二】（2017 年福州市第一次检测）
在平面直角坐标系 xOy 中，在以 O 为极点，错误!未找到引用源。轴的正半轴为极轴的极坐标系中，
曲线 C1
: 2
4 cos
0,
0, 2 ，曲线 C2
:
3 4 sin(
, )
0,2 ．
（Ⅰ）求 C1 的一个参数方程；
（Ⅱ）若曲线 C1 和曲线 C2 相交于 A 、 B 两点,求 AB 值．
【解析】（Ⅰ）曲线 C1
的普通方程为：( x
2)2
y2
1，从而 C1
的一个参数方程为
x
y
2 cos （ sin
为参数）
（Ⅱ）【解法一】曲线 C2 的普通方程为 2x 2 3y 3 0
因为直线 C2 ：
2x 2 3y 3 0 与曲线 C1 ：
(x 2)2 y2 1相交于 A 、 B 两点，
所以圆心到直线的距离为 d
1 4
，
AB
r2 d2
.
【解法二】直线 C2
过点 ( 3 2
, 0)
，倾斜角为
6
，曲线 C2
的参数方程为
x
y
3 2 1 2
t
3t 2
代入 C1 ：
(x 2)2 y2 1，得 4t2 2 3t 3 0 ，
AB t1 t2 (t1 t2 )2 4t1t2 .
考查知识：将圆的极坐标化为普通方程，再把圆的普通方程转化为参数方程，直线与圆的位置关系，
由于直线 C2 没有过原点，因此使用极坐标方程方法比较困难.
【例题三】（2017 年宁德市第三次检测）
已知直线
l
的参数方程为
x
m
1 2
t
(t
为参数），以坐标原点为极点，以
x
轴正半轴为极轴建立极坐标
y
3t 2
系，椭圆 C
的极坐标方程为 5cos2
9sin2
45 2
，且直线 l
经过椭圆 C
的右焦点
F
.
（Ⅰ）求椭圆 C 的内接矩形 PMNQ 面积的最大值；
（Ⅱ）若直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点，求 FA FB 的值.
【解析】（Ⅰ） 椭圆 C 的普通方程为 x2 y2 1. 95
设椭圆 C 上的 P 的坐标为 3cos, 5 sin
（Ⅱ）直线
l
经过椭圆
C
的右焦点
F
.直线
l
的参数方程为
x
1 2
t
(t
为参数），代入椭圆
C
的普通
y
3t 2
方程 5x2 9 y2 45 ，整理得，8t2 10t 25 0， FA FB t1t2 .
考查知识：椭圆的极坐标方程化为直角坐标方程，椭圆上的点用参数表示，直线参数方程与椭圆相交
的参数几何意义， FA FB t1t2 .
【例题四】（2017 年三明市第二次检测） 在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，以 X 轴的正半轴为极轴，建立极 坐标系，若直线 的极坐标方程为 2 cos( ) 2 0 ，曲线 C 极坐标 sin2 cos ，将曲线 C 上所
4 有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线为参数） C1 .
（Ⅰ）求曲线 C1 的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知直线 l 与曲线 C1 交于 A, B 两点，点 P(2,0) ，求 PA PB 的值． 【解析】（Ⅰ） C1 的直角坐标方程为 y2 2x 2 .
（Ⅱ）直线
l
的普通方程
x
y
0
，
P(2, 0)
在
l
上，
l
参数方程为
x
2t 2
y
2t 2
(t 为参数）代入曲线 C1 方程得 t2 2 2t 4 0 , t1 0,t2 0 ，
PA PB t1 t2 t1 t2 (t1 t2 )2 4t1t2 .
考查知识：把直线方程化为参数方程，极坐标方程化为直角坐标方程，利用直线参数的几何意
义. PA PB t1 t2 t1 t2 (t1 t2 )2 4t1t2 .
【例题五】（2017 年泉州市第二次检测）
在平面直角坐标系
x
xOy
中，曲线
C1
的参数方程为
y
1 cos sin
，（
为参数）
在以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2 的极坐标方程为 cos2 sin.
（Ⅰ）求 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若射线 l : y kxx 0与 C1,C2 的交点分别为 A, B （ A, B 异于原点），当斜率 k 1, 3 时，求
OA OB 的取值范围.
【解析】（Ⅰ） C1 的普通方程为 x 12 y2 1. C2 的普通方程为 y x2 ，
（Ⅱ）【解法一】射线 l
与曲线 C1
x 12
联立 y kx,
y2
1, 得
A
k
2 2
,
k
2k 2
.
y kx,
射线
l
与曲线
C2
联立
y
x2,
得
B
k,
k
，
故 OA OB
k
k
2 2 1
1 k 2 k 2k .
（Ⅱ）【解法二】曲线 C1 的极坐标方程为
2 cos
，曲线 C2 的极坐标方程为
sin cos2
射线 l
:
与
C1
的交点
A
的极径为
1 2 cos
，射线
与 C2
的交点
B
的极径为
sin
cos2
．所以
OA
OB
1`2
cos
.
sin cos2
2 tan
2k
.
考查知识：参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程，过原点的直线与不同的曲线分别相交的交点问
题， OA OB 1`2 .
【例题六】（2017 年福建省第二次检测），
x 2 2cost,
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C1
的方程为为
y
2 sin
t,
( t t 为参数). 以坐标
原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 C2 : 2sin ，曲线 C3 ：
(＞0) ， A(2,0) .
6 （Ⅰ）把 C1 方程化为极坐标方程；（Ⅱ）设 C3 分别交 C1 ， C2 于点 P,Q ，求 APQ 面积.
【解析】（Ⅰ） C1 的极坐标方程为 4cos ；
（Ⅱ）设点
P,Q
极坐标分别为
(1,
6
),
(2,
6
)
，
1,
4cos 6
3,2,
2sin 6
1，
PQ 1, 2, .
考查知识：参数方程、直角坐标方程、极坐标方程互化，过原点的直线与不同的曲线分别相交的交点 距离问题.
【例题七】（2017 年福州市第二次检测）
在直角坐标系
xOy
中，曲线 C1
的方程为
x2 9
y2
1 ．以坐标原点为极点，以
x
轴的
正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 2 8 sin 15 0 ．
（Ⅰ）写出 C1 的参数方程和 C2 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点 P 在 C1 上，点 Q 在 C2 上，求 PQ 的最大值．
【解析】（Ⅰ）
C1
参数方程为
x
y
3cos, sin
（
为参数），
C2
的普通方程为
x2
y
42
1．
（Ⅱ）曲线 C1
的方程为
x2 9
y2
1 ，可以设
P3cos,sin ，
PC2
3cos 2 sin 42
8 sin
1 2
2
27
PQ PC2 r
考查知识：参数方程、普通方程程、极坐标方程互化，曲线参数方程上的点参数表示． 【例题八】（2017 年厦门大学附属科技中学模拟考试）
极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线 C 的
极坐标方程为 2cos sin ．
（Ⅰ）求 C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）直线
l
：
x y
2
3
1 2 3
t t
(
t
为参数）与曲线
C
交于
A,
B
两点，与
y
轴交于
E
，
求 EA EB
【解析】（Ⅰ）曲线 C 的 ( x 1)2 ( y 1)2 2
解法一（Ⅱ）因为
l
与
y
轴的交点为
E(0,1)
，把
l
的参数方程改为
y
x1 2
t
3 2
t
(
t
为参数），再将
l
的参数方
程代入曲线
C
的直角坐标方程，得 t2
t
0, tE
0
，
EA EB 0 tA 0 tB = tA tB tA tB = ．
解法二（Ⅱ）把
l
的参数方程
x
y
2
3
1 2 3
t t
( t 为参数），代入曲线 C 的直角坐标方程，
tE 2 3 ， EA EB tE tA tE tB 2 3 tA 2 3 tB
【例题九】（2017 年厦门大学附属科技中学模拟考试）
已知曲线 C 的极坐标方程是 2cos ，若以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴且取相
同的单位长度，建立平面直角坐标系，则直线
l
的参数方程的是
x
3tm
(t 为参数).
y
1 2
t
（Ⅰ）求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程；
（2）设点 Pm,0 ，若直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点，且 PA • PB 1，求实数 m 的值.
【解析】（Ⅰ）) 曲线 C 的直角坐标方程为 x 12 y2 1. l 的普通方程 x 3y m 0
(2)
将
x
3tm
(t 为参数）代入方程 x 12 y2 1，得 t2
3m 3 t m2 2m 0 .由 0 ，
y
1 2
t
解得 1 m 3.所以 t1t2 m2 2m . PA PB t1t2 ，解得 m 1 2 或 m 1或 m 1 2 .
【例题十】（2017 年厦门大学附属科技中学模拟考试）
在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为
，（ 为参数）；在以坐标原点 为极点， 轴
正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 的极坐标方程为
（Ⅰ）求 的普通方程和 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若射线
与
的交点分别为 （ 异于原点），当斜率
时，求
的取值范围.
【解析】（Ⅰ） 的极坐标方程为
． 的直角坐标方程为
．
（Ⅱ））设射线
的倾斜角为 ，则射线的极坐标方程为
，
且
，联立
得
，
联立
，得
，
所以
，
【例题十一】（2017 年厦门大学附属科技中学模拟考试）
在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 cos a
（ a 0 ）， Q 为 l 上一点，以 OQ 为边作等边三角形 OPQ ，且 O 、 P 、 Q 三点按逆时针方向排列.
（Ⅰ）当点 Q 在 l 上运动时，求点 P 运动轨迹的直角坐标方程；
（Ⅱ）若曲线 C
：
x2
y2
a
，经过伸缩变换
x y
' '
2x y
得到曲线 C
' ，试判断点
P
的轨迹与曲线 C
' 是否
有交点，如果有，请求出交点的直角坐标，没有则说明理由.
【解析】（Ⅰ）设点 P 的坐标为 (, ) ，则由题意可得点 Q 的坐标为 (, ) ， 3
再由点 Q
在直线 l
的极坐标
cos
a
（a
0 ）上，可得
cos(
) 3
a
，
故当点 Q 在 l 上运动时点 P 的直角坐标方程为 x 3y 2a 0 ．
（Ⅱ)曲线 C ：
x2 y2 a2 ，
x'
y
'
2x y
，即
x
y
x' 2 ，代入 y'
x' 4
y '2
a2 ，即
x2 4
y2
a2
，
联立点 P 的轨迹方程，消去 x 得 7 y2 4 3ay 0 ，
a 0, 0 有交点，坐标分别为 ( 2 a, 4 3 a), (2a, 0) ． 77
【例题十二】（2017 年厦门大学附属科技中学模拟考试）
已知椭圆 C : x2 a2
y2 b2
1a b 0 ， 四 点
P1
1,1,
P2
2,0,
P3
1,
3 2
,
P4
1,
3 2
中恰有三点在椭圆 C
上． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（ Ⅱ ） 过 原 点 的 直 线 l 与 椭 圆 C 交 于 A, B 两 点 ， 椭 圆 C 上 一 点 M 满 足 MA MB ． 试 探 究 1 1 2 是否为定值，若是求出该定值，若不是，请说明理由．
OA 2 OB 2 OM 2
【解析】（Ⅰ）椭圆方程为 C : x 2 y 2 1 43
（Ⅱ）由|MA|=|MB|，知 M 在线段 AB 的垂直平分线上，由椭圆的对称性知 A、B 关于原点对称．以 x 轴为
极轴，原点为极点建立极坐标系。
设点
A1
,
，则
M
,
2
， B1,
椭圆的极坐标方程为：
2
12 3 sin 2
112
12
12
2 2
3 sin2
3 sin2
sin
2
12
12
12
篇三：“坐标系与参数方程”高考考查分析
高三综合复习坐标系与参数方程
题型一：极坐标与直角坐标的互化；互化原理（三角函数定义）、数形结合。
1、在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两种坐标 系中取相同的长度单位，曲线的极坐标方程为。
（Ⅰ）把曲线的极坐标方程化为普通方程; （Ⅱ）求直线与曲线的交点的极坐标（规定：）。
题型二：曲线（圆与椭圆)的参数方程.
(1）普通方程和参数方程的互化；最值问题；“1”的代换（)、辅助角公式.
2、已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系,的极坐标分别为。
（Ⅰ)求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；
（Ⅱ）设为曲线上的点，求点到直线的距离的最大值. 3、已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程是是参数） ，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为。
（Ⅰ）判断直线与曲线的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ)设为曲线上任意一点，求的取值范围. 4、已知平面直角坐标系，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为， 曲线的参数方程为（为参数）。
（Ⅰ）写出点的直角坐标及曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）若为曲线上的动点，求中点到直线的距离的最小值。
（2）公共点问题；“直线与圆锥曲线"采用联立求解判别式；“直线与圆”采用“-—-法”。
5、在直角坐标系中曲线的参数方程为(为参数）．若以直角坐标系中的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标 系,曲线的极坐标方程为． （Ⅰ)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;（Ⅱ）若曲线与曲线有公共点，求实数的取值范围． 6、在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．在极坐标系（以原点为极点，以轴非负半轴为极轴，且与直角 坐标系取相同的长度单位）中，圆的方程为． (Ⅰ）求直线的极坐标方程和圆的直角坐标方程; （Ⅱ）若直线与圆相切，求实数的值． 7、在极坐标系中，直线的极坐标方程为,以极点为原点极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系,曲线的参数方程为 为参数,且）。
（Ⅰ)写出直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；
（Ⅱ)若直线与曲线有两个公共点，求的取值范围。
题型三：直线参数方程（t 的几何意义）；定点到动点的距离；“定、标、图、号、联";
韦达三定理：、、
8、在直角坐标系中，直线的参数方程为，(为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为 极点，以轴正半轴为极轴）中,圆的极坐标方程为。
(Ⅰ）求直线的极坐标方程和圆的直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆与直线交于点，若点的坐标为，求。
9、在直角坐标系中，过点的直线的斜率为 1,以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方 程为，直线和曲线的交点为． （Ⅰ)求直线的参数方程和曲线的直角坐标方程; （Ⅱ）求 10、在直角坐标系中，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，圆的极坐标方程为。
（Ⅰ)将圆的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2)过点作斜率为的直线与圆交于两点，试求的值。
11、在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极 点，以轴非负半轴为极轴）中，圆的方程为。
（Ⅰ）求圆的直角坐标方程；
(Ⅱ)若点，设圆与直线交于点，求的最小值。
题型四：跟踪点参数方程的求法 (跟踪点法)。
12、在极坐标系中，已知圆的圆心，半径． （Ⅰ)求圆的极坐标方程；
（Ⅱ）若点在圆上运动,在的延长线上，且，求动点的轨迹的极坐标方程．
篇四：“坐标系与参数方程”高考考查分析
坐标系与参数方程高考真题汇总 1
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题 1．[选修 4—4：坐标系与参数方程] 在极坐标系中，直线 l 的方程为 被曲线 C 截得的弦长． 【答案】直线 l 被曲线 C 截得的弦长为 【解析】分析：先根据直线与圆极坐标方程得直线与圆的一个交点为 A（4，0） ，且 OA 为直径.设直线与圆的另一个交点为 B，根据直线倾斜角得∠OAB= ．最后根据直角三角 形 OBA 求弦长 . 详解：因为曲线 C 的极坐标方程为 ， ，曲线 C 的方程为 ，求直线 l
所以曲线 C 的圆心为（2，0） ，直径为 4 的圆． 因为直线 l 的极坐标方程为 则直线 l 过 A（4，0） ，倾斜角为 ， 所以 A 为直线 l 与圆 C 的一个交点． 设另一个交点为 B，则∠OAB= ． 连结 OB，因为 OA 为直径，从而∠OBA= ， 所以 ． ． ，
因此，直线 l 被曲线 C 截得的弦长为
点睛：本题考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力. 2． （题文）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，曲线 的方程为 .以坐标原点为极点， 轴正半轴为极 .
轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 （1）求 的直角坐标方程；
（2）若 与 有且仅有三个公共点，求 的方程. 【答案】(1) (2) . ， 以及 .
【解析】 分析：
(1)就根据
， 将方程
试卷第 1 页，总 39 页
中的相关的量代换，求得直角坐标方程；
(2)结合方程的形式， 可以断定曲线 是圆心为 ， 半径为 的圆， 是过点 且
关于 轴对称的两条射线，通过分析图形的特征，得到什么情况下会出现三个公共点， 结合直线与圆的位置关系，得到 k 所满足的关系式，从而求得结果. 详解：
（1）由 ． （2）由（1）知 是圆心为 由题设知， 是过点 ，半径为 的圆． ， 得 的直角坐标方程为
且关于 轴对称的两条射线．记 轴右边的射线为 ， 轴左边
的射线为 ．由于 在圆 的外面，故 与 有且仅有三个公共点等价于 与 只有一个 公共点且 与 有两个公共点，或 与 只有一个公共点且 与 有两个公共点． 当 与 只有一个公共点时，到 所在直线的距离为 ， 所以 经检验， 当 个公共点． 当 与 只有一个公共点时，到 所在直线的距离为 ， 所以 经检验，当 时， 与 没有公共点；当 ． ， 故 或 ． 时， 与 没有公共点；
当 ， 故 或 ．
时， 与 只有一个公共点， 与 有两
时， 与 没有公共点．
综上，所求 的方程为
点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有曲线的极坐标方 程向平面直角坐标方程的转化以及有关曲线相交交点个数的问题，在解题的过程中，需 要明确极坐标和平面直角坐标之间的转换关系，以及曲线相交交点个数结合图形，将其 转化为直线与圆的位置关系所对应的需要满足的条件，从而求得结果. 3．[选修 4－4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）. （1）求 和 的直角坐标方程；
（2）若曲线 截直线 所得线段的中点坐标为 【答案】 （1） 当 的直角坐标方程为 时， 的直角坐标方程为 ．（2） ，求 的斜率． ， 当 时， （ 为参数） ，直线 的参数方程为
【解析】分析：(1)根据同角三角函数关系将曲线 的参数方程化为直角坐标方程，根据
试卷第 2 页，总 39 页
代入消元法将直线 的参数方程化为直角坐标方程，此时要注意分
与
两种情况 .(2) 将直线 参数方程代入曲线 的直角坐标方程，根据参数几何意义得 之间关系，求得 ，即得 的斜率． ． ， ．
详解：
（1）曲线 的直角坐标方程为 当 当 时， 的直角坐标方程为 时， 的直角坐标方程为
（2）将 的参数方程代入 的直角坐标方程，整理得关于 的方程 ．① 因为曲线 截直线 所得线段的中点 ． 又由①得 ， 故 ， 于是直线 的斜率 ． 在 内，所以①有两个解，设为 ， ，则
点睛：直线的参数方程的标准形式的应用 过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程是 正、可负、可为 0) 若 M1，M2 是 l 上的两点，其对应参数分别为 t1，t2，则 (1)M1， M2 两点的坐标分别是(x0＋t1cos α ， y0＋t1sin α )， (x0＋t2cos α ， y0＋t2sin α ). (2)|M1M2|＝|t1－t2|. (3)若线段 M1M2 的中点 M 所对应的参数为 t，则 t＝ ＝|t|＝ . ，中点 M 到定点 M0 的距离|MM0| .(t 是参数，t 可
(4)若 M0 为线段 M1M2 的中点，则 t1＋t2＝0. 4．[选修 4—4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系 倾斜角为 的直线 与 （1）求 的取值范围；
（2）求 中点 的轨迹的参数方程． 中， 的参数方程为
， （ 为参数） ， 过点
，
且
交于 ， 两点．
【答案】（1）
（2）
为参数，
【解析】分析：
（1）由圆与直线相交，圆心到直线距离
可得。
试卷第 3 页，总 39 页
（2）联立方程，由根与系数的关系求解 详解：
（1） 当 当 解得 时， 与 时， 记 或 的直角坐标方程为 交于两点． ， 则 的方程为 ，即 ． 为参数， ． ． 或 ． ．与 交于两点当且仅当 ， ．
综上， 的取值范围是 （2） 的参数方程为
设 ，，对应的参数分别为 ， ， ， 则 于是 ，
， 且 ， 满足 满足
．又点 的坐标
所以点 的轨迹的参数方程是
为参数，
．
点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的参数方程，考查求点的轨迹方程，属于 中档题。
5．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 方程为 （θ 为参数） ，直线 l 的参数
（ 为参数）．
（1）若 ，求 C 与 l 的交点坐标；
，求 ． 或 ．
（2）若 C 上的点到 l 的距离的最大值为 【答案】（1） 【解析】 ， ；
（2）
篇五：“坐标系与参数方程”高考考查分析
３ ８
数 学教 学研 究
第３ ５ 卷第 １ Ｏ期
２ ０ １ ６年 １ Ｏ 月
高考“ 坐标 系与参数方程” 难点透析
ｉ 歆 宏
（ 甘 肃省张掖市实验中学 ７ ３ ４ ０ ０ ０ ）
“ 坐标 系 与参数 方程 ” 是高 考选考 系列 中
为３ Ｏ 。
的直线 ， 交 于 点 Ａ ， 求Ｉ Ｐ ＡＩ 的最 大值 ’
与最小 值．
较为简单 的， 所 以绝大多数学校都选修 ４ — ４
“ 坐标 系与 参 数 方 程 ” ；
纵 观 近几 年 的高 考 数
分析
（ Ｉ） 利用 椭 圆 的普通 方程 及直线
学全国 Ｉ卷 、 全 国 Ⅱ卷、 陕西卷 、 湖南卷 ， 对 “ 坐标系与参数方程” 的考查也有 了更加新颖 的方法， 越来越喜欢考查应用参数方程求最 值或范围问题 ， 越来越重视利用 直线参数方
程ｔ 的几 何 意 义 求 距 离 或 相 关 问题 ， 越 来 越 注重应 用极 坐 标 求 距 离 或 面 积 ， 这 对 于 部 分 考生来 说是 不熟 悉 的 、 不 擅 长 的难点 ． 现 就将 这些难 点题 型 及 解 题 规 律 梳 理 如 下 ， 供 读 者
参考 使用 ． １ 利用 曲线 的 参 数 方 程 求 有 关最 值 （ 范 围）
问题
的参数 的特征进行参普互化． （ Ｉ Ｉ ） 由椭圆的参数方程建立 Ｉ Ｐ Ａ ｌ 的三 角函数表达式 ， 进而求值 ；
或分析得 出 Ｉ Ｐ Ａ Ｉ
一 （ 表 示 椭 圆 上 任 意 一点 到 ｚ的距
离） ， 求 ｄ的最值 ， 可做 ｚ 的平行 线 ， 相 切 时分 别 取 得最 大值 与最小 值 ．
解
（ 工 ） 曲线 ｃ的参数方程为
｛ ｖ ｘ ＝ 一 ３ ２ ｃ ｓ ｏ ｉ ｎ ｓ ０ ’ （ ０ 为 参 数 ） ，
直线 ｚ 的普 通方 程为
２ ｚ＋ 一 ６ 一Ｏ ．
利用 曲线 的 参数方 程 求解 两 曲线 间 的最 值 问题 ， 是非常简捷、 方便的 ， 是 我们 解 决 这
（ １ １ ） 如图 ｌ ， 在 曲 线 Ｃ 上 任 意 取 一 点 Ｐ（ ２ ｃ ｏ ｓ ０ ， ３ ｓ ｉ ｎ ） 到ｚ 的距 离 为
一
类问题最常用 、 最普遍的好方法． 因此必须熟 悉常见曲线的参数方程 、 参普方 程的互 化以 及 参数方 程 的简 单应 用 ；
数 形 结合 ， 根 据 图形 优化解题策略， 是用参数法还是普通方程法．
例Ｉ （ ２ ０ １ ４年 全 国卷 Ｉ理 科 第 ２ ３题 ）
ｌ ４ ｃ ｏ ｓ ＋３ ｓ ｉ ｎ 一６ ｌ ， 一 Ｉ ５ ｓ ｉ ｎ （ ） 一６ １ ，
则
Ｉ Ｐ Ａ＝
已 知 曲 线ｃ ：
２ ＋ 号 ２ — １ ， 直 线ｚ ：
７ ３
一
＝ ２ ＋ ｔ，
一
其中 ａ 为锐角， 且ｔ ａ ｎ ａ ＝ ＝ ＝ 普．
当ｓ ｉ ｎ （ ＋ａ ） 一 一１时 ， Ｉ Ｐ Ａ Ｉ 取 得 最 大
９
（
为参 数 ） ．
（ Ｉ ） 写出曲线 Ｃ的参数方程 ， 直线 ｚ 的
普 通方 程 ；
值， 最 大 值 为 丝 ；
当 ｓ ｉ ｎ （ ＋ａ ） 一 ｌ时 ，
００ ，
（ １ Ｉ ） 过曲线 Ｃ上任一点 Ｐ作 与 ｚ 夹角
收稿 Ｅ ｔ 期：
２ ０ １ ６ — ０ ４ — ２ ８
Ｉ Ｐ Ａ ｉ 取得最小值 ， 最小值为 ．
基金项 目：
甘肃省教育科学 “ 十二 五” 规划 ２ ０ １ ３年度 《 新 课改理 念下 高三 数学 复 习高效 策 略 研究 》 课题（ 课题 批 准号 Ｇ Ｓ
【 ２ Ｏ １ ３ 】 ＧＨＢ ０ ７ ７ １ ） ．
作者简 介：
王新宏 （ １ ９ ７ ４ 一） ， 男， 甘肃高 台人 ， 中学 高级教师 ， 学士 ， 主要从事高中数学教 学、 高考研究．
Ｅ － ｍａ ｉ ｌ ：
７ ５ ０ ２ ０ ７ ｗｘ ｈ ＠１ ６ ３ ． Ｃ Ｏ ｎ ｒ
第 ３ ５卷第 １ Ｏ期
２ ０ １ ６ 年 １ Ｏ月
数学教学研究
３ ９
：
‘ ３
ｚ 。
＋ 。
＝ ＝ ＝ ２ √ ３ Ｙ ，
ｚ ＋（ 一 ） － －３ ．
ｊ
（ Ⅱ ） 设 Ｐ （ ３ ＋ 丢 ， ） ， ｙ ． ｃ （ ｏ ， ） ， 则
ｔ
图 １
Ｉ Ｐ Ｃ Ｉ 一 √ （ ３ ＋ ＋ （ 一
一 、 ，
评注 将曲线的参数方程化为普通方程 的关键是消去其 中的参数 ， 常用 的技巧有代 人消参、 加减消参、 整体消参 、 平方后加减消
参等． 一 般地 ， 如 果 题 目中涉 及 圆 、 椭 圆上 的
如图 ２ ， 故当 一Ｏ时， ｌ Ｐ ＣＩ 取剥 、 值， 此时 Ｐ 点 的直角 坐标 为 （ ３ ， ０ ） ．
动点求相关最值 （ 范围） 问题时， 可考虑用其 参数方程设出点 的坐标 ， 将 问题转化为三角 函数问题得以解决 ， 使解题 的过程简单明了． 例２ （ ２ ０ １ ５年高 考陕 西卷 理科第 ２ ３ 题） 在直角坐标系 ｘ Ｏ ｙ中， 直线 ｚ 的参数方
（ 二 ＿
Ｄ
／ ｐ （ ３ ， ｏ ）
图 ２
ｆ
程为
３ ＋ 丢 ，
一
评注 求最值问题通常转化为函数问题 解答 ， 难点是确定变量及建立 函数关系式 ， 几
何问题也常常数形结合 ， 根据几何意义确定 最值 点． ２ 利用直线 参数 方程中 ｔ 的几何意义 求与 距 离有 关的 问题 如 图 ３所 示 ， 经过 点 Ｐ（ 。
， Ｙ ｏ ） ， 倾 斜 角 为 的 直 线 ｚ 的 参 数 方 程 为
ｏｓ
．
（ ｔ 为参 数 ） ． 以原 点 为 极
Ｉ ：
譬
点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系 ， 圆 Ｃ的
极坐标 方程 为 ｐ 一２ √ ３ ｓ ｉ ｎ （ Ｉ） 写 出 圆 Ｃ的直 角坐 标方 程 ；
（ １ Ｉ ） Ｐ 为直 线 ｌ 上一动点， 当 Ｐ 到 圆心
篇六：“坐标系与参数方程”高考考查分析
坐标系与参数方程高考解答题专题
1、（2018 江苏）在极坐标系中，直线 l 的方程为 sin( π ) 2 ，曲线 C 的方程为 4cos ， 6
求直线 l 被曲线 C 截得的弦长．
2、（2018 全国新课标Ⅰ文、理）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的方程为 y k x 2 ．以 坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 2 2 cos 3 0 ． （1）求 C2 的直角坐标方程；
（2）若 C1 与 C2 有且仅有三个公共点，求 C1 的方程．
3、（2018 全国新课标Ⅲ文、理）[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分）
在平面直角坐标系
xOy
中，⊙O
的参数方程为
x
y
cos sin
,
（
为参数），过点
(0,
2)
且倾斜角为 的直线 l 与⊙O 交于 A，B 两点．
（1）求 的取值范围；
（2）求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程．
4、(2017 江苏)
在平面坐标系中
xOy
中,已知直线
l
的参考方程为
x
y
8 t 2
t
(
t
为参数),曲
线
C
的参数方程为
x
2s
,
( s 为参数).设 P 为曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 l 的距离的
y 2 2s
最小值.
5、（2017
全国新课标Ⅰ文、理）在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为
x
y
3cos sin ,
,
（θ
为参数），直线
l
的参数方程为
x y
a 4t（, t为参数）． 1 t,
（1）若 a 1，求 C 与 l 的交点坐标；
（2）若 C 上的点到 l 距离的最大值为 17 ，求 a ．
6、（2017 全国新课标Ⅱ文、理） 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴
为极轴建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标方程为 cos 4 .
（1）M 为曲线 C1 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足| OM | | OP | 16 ,求点 P 的轨迹 C2
的直角坐标方程；
（2）设点
A
的极坐标为
(2,
π 3
)
，点
B
在曲线
C2
上，求
△OAB
面积的最大值.
x t,
7、（2017全国新课标Ⅲ文、理）在直角坐标系xOy中，直线
l
的参数方程为
y
kt,
（t为参
x m,
数），直线
l
的参数方程为
y
m k
,
（m为参数），设 l 与 l 的交点为P，当k变化时，P
的轨迹为曲线C．
（1）写出C的普通方程：
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 l : (cos sin ) ， M为 l 与C的交点，求M的极径．
8、（2016
江苏）在平面直角坐标系
xOy
中，已知直线
l
的参数方程为
x
1t 2
（t
y
3t 2
为参数），椭圆
C
的参数方程为
x y
cos , 2 sin
（ 为参数）.设直线 l 与椭圆 C 相交于
A，B 两点，求线段 AB 的长.
9、（2016
全国Ⅰ文、理）在直角坐标系
x
y
中,曲线
C1
的参数方程为
x y
a cost 1 a sin
t
（t
为
参数,a＞0）．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2：ρ= 4 cos .
（1）说明 C1 是哪一种曲线,并将 C1 的方程化为极坐标方程；
（2）直线 C3 的极坐标方程为 0 ,其中 0 满足 tan 0 =2,若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3
上,求 a．
10、（2016 全国Ⅱ文、理）在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 (x 6)2 y2 25 ．
（1）以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程；
（2）直线
l
的参数方程是
x
y
t t
cos sin
（
t
为参数）,
l 与 C 交于 A, B 两点，| AB |
10 ，
求 l 的斜率．
11、（2016 全国Ⅲ文、理）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为
x y
3 sin
cos
(为参数)
，以坐标原点为极点，以
x
轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲
线
C2
的极坐标方程为
sin(
) 4
2．
（1）写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程；
（2）设点 P 在 C1 上，点 Q 在 C2 上，求 PQ 的最小值及此时 P 的直角坐标.
12、(2015
湖南理)已知直线
l
:
x
3t 2 （ t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半
y
31t 2
轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2cos .
（1） 将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2） 设点 M 的直角坐标为 (5, 3) ，直线 l 与曲线 C 的交点为 A ，B ，求| MA | | MB | 的
值.
13、(2015 江苏)已知圆 C 的极坐标方程为 2 2 2 sin( ) 4 0 ，求圆 C 的半径. 4
14、(2015 全国新课标Ⅰ卷文理)在直角坐标系 xOy 中，直线 C1 : x 2 ，圆
C2 : x 12 y 22 1，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标 系.
（1）求 C1, C2 的极坐标方程.
（2）若直线 C3
的极坐标方程为
π 4
R ，设 C2 , C3 的交点为
M
,
N
，求 C2MN
的
面积.
15、(2015
全国新课标Ⅱ卷文、理)在直角坐标系
xOy
中,曲线
C1
:
x y
t t
cos sin
, ,
（t 为参数,
且 t 0 ）,其中 0 ,在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
C2 : 2sin ,C3 : 2 3 cos. （1）求 C2 与 C3 交点的直角坐标；
（2）若 C1 与 C2 相交于点 A, C1 与 C3 相交于点 B,求 AB 最大值.
篇七：“坐标系与参数方程”高考考查分析
高考数学坐标系与参数方程知识点总结！ 速速 收藏！
高考数学选修 4-4 坐标系与参数方程知识点总结
第一讲
一 平面直角坐标系 1．平面直角坐标系 (1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之 间可以建立一一对应关系． (2)平面直角坐标系：
①定义：
在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系， 简称为直角坐标系；
②数轴的正方向：
两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向 分别为两条数轴的正方向；
③坐标轴水平的数轴叫做 x 轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做 y 轴或纵坐标轴，x 轴或 y 轴统称为坐标轴；
④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点；
⑤对应关系：
平面直角坐标系上的点与有序实数对(x， y)之间可以建立一一对应 关系． (3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点 P1(x1，y1)，P2(x2， y2)，线段 P1P2 的中点为 P，填表：
二 极坐标系 (1)定义：
在平面内取一个定点 O， 叫做极点；
自极点 O 引一条射线 Ox 叫做极轴；
再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方 向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方 向． (3)图示
2．极坐标 (1)极坐标的定义：设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的极 径，记为 ρ ；以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的极角，记 为 θ .有序数对(ρ ，θ )叫做点 M 的极坐标，记作 M(ρ ，θ )． (2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点 O 的极坐标 是(0，θ )，(θ ∈R)，若点 M 的极坐标是 M(ρ ，θ )，则点 M 的极坐标也可写成 M(ρ ，θ ＋2kπ )，(k∈Z)． 若规定 ρ >0，0≤θ <2π ，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ ，θ )之间 才是一一对应关系． 3．极坐标与直角坐标的互化公式 如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且长度单位 相同，设任意一点 M 的直角坐标与极坐标分别为(x，y)，(ρ ，θ )．
三 简单曲线的极坐标方程 1．曲线的极坐标方程 一般地， 在极坐标系中， 如果平面曲线 C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足 方程 f(ρ ，θ )＝0，并且坐标适合方程 f(ρ ，θ )＝0 的点都在曲线 C 上，那么 方程 f(ρ ，θ )＝0 叫做曲线 C 的极坐标方程． 2．圆的极坐标方程 (1)特殊情形如下表：
3．直线的极坐标方程 (1)特殊情形如下表：
四
柱坐标系与球坐标系简介（了解）
第二讲
一 曲线的参数方程 1．参数方程的概念
2．圆的参数方程
二
圆锥曲线的参数方程
三
直线的参数方程
四
渐开线与摆线（了解）
篇八：“坐标系与参数方程”高考考查分析
坐标系与参数方程
1．【全国
I
卷
2019
届高三五省优创名校联考数学】在直角坐标系
xOy
中，直线
l
的参数方程为
x
m
2t 2
y
2t 2
（ t 为参数），以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆 C 的极坐标方程为
2cos2 3 2sin2 48 ，其左焦点 F 在直线 l 上．
（1）若直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，求 FA FB 的值；
（2）求椭圆 C 的内接矩形面积的最大值．
【答案】（1） 4 3 ；（2） 32 3 ．
【解析】（1）将
x y
cos sin
代入 ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝48，
得 x2＋3y2＝48，即 x2 y2 1 ， 48 16
因为 c2＝48－16＝32，所以 F 的坐标为（ 4 2 ，0），
又因为 F 在直线 l 上，所以 m 4 2 ．
把直线
l
的参数方程
x
2t 2 代入 x2＋3y2＝48，
y
2t 2
化简得 t2－4t－8＝0，所以 t1＋t2＝4，t1t2＝－8，
所以 FA FB t1 t2 （t1 t2）2 4t1t2 16 48 4 3 ．
（2）由椭圆 C 的方程 x2 y2 1 ，可设椭圆 C 上在第一象限内的任意一点 M 的坐标为（ 4 3 cos ， 48 16
4sinθ）（ 0 π ）， 2
所以内接矩形的面积 S 8 3 cos 8sin 32 3 sin 2 ， 当 π 时，面积 S 取得最大值 32 3 ．
【名师点睛】直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式
x
y
cos sin
，而极坐标方程转化为直
2 x2 y2
角坐标方程的关键是利用公式
tan
y x
，后者也可以把极坐标方程变形，尽量产生 2，cos ，
sin 以便转化．另一方面，当动点在圆锥曲线运动变化时，我们可以用一个参数 来表示动点坐标，
从而利用一元函数求与动点有关的最值问题． 2．【河北衡水金卷 2019 届高三 12 月第三次联合质量测评数学】在直角坐标系中，直线 l 的参数方程为
x y
1 t cos 1 t sin
,
（t
为参数，
0
π
），以坐标原点为极点，
x
轴正半轴为极轴，取相同的长度
单位建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2 4 ． 1 sin2
（1）当 a π 时，写出直线 l 的普通方程及曲线 C 的直角坐标方程；
（2）已知点 P1，1 ，设直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，试确定 PA PB 的取值范围．
【答案】（1） x
3y 1
0，x2 4
y2 2
1；（2）
1 2
，1
【解析】（1）当 a π 时，直线 l 的参数方程为 6
x y
1 t cos 1 t sin π
π 6
,
x
y
1 1 1
3 2
t
t，
．
消去参数 t 得 x 3y 1 3 0 ．
由曲线 C 的极坐标方程为 2
4 sin
，得 2
sin 2
4，
将 x2 y2 2 ，及 y sin 代入得 x2 2 y2 4 ，即 x2 y2 1 ；
42
（2）由直线
l
的参数方程为
x
y
1 t cos 1 t sin
,
（ t 为参数， 0 π ），
可知直线 l 是过点 P（–1，1）且倾斜角为 的直线，
又由（1）知曲线 C 为椭圆 x2 y2 1 ，所以易知点 P（–1，1）在椭圆 C 内， 42
将
x y
1 t cos, 1 t sin
代入 x2 y2 42
1 中，整理得
1 sin2 t2 22sin cos t 1 0 ，
设 A，B 两点对应的参数分别为 t1，t2 ，
则 t1 t2
1 1 sin2
，
所以
PA
PB
t1
t2
1 1 sin2
，
因为 0 π ，所以 sin2 0，1 ，
所以
PA
PB
t1
t2
1 sin
1 2
，1
，
所以
PA
PB
的取值范围为
1 2
，1
．
【名师点睛】利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题．经过点 P（x0，y0），倾斜角为 α 的直线
l
的参数方程为
x
y
x0 y0
t cos t sin
（t
为参数）．若
A，B
为直线
l
上两点，其对应的参数分别为
t1，t2
，
线段
AB
的中点为
M，点
M
所对应的参数为 t0
，则以下结论在解题中经常用到：（1）t0
t1
t2 2
；（2）
PM
t0
t1 t2 2
；（3）
AB ＝t2－t1
；（4）
PA·PB ＝t1·t2
．
3．【河南省信阳高级中学 2018–2019 学年高二上学期期中考试数学】在平面直角坐标系 xOy 中，以 O 为极
点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2sin 2acos（a 0）；直线
l
的参数方程为
x
2t 2 （ t 为参数）．直线 l 与曲线 C 分别交于 M，N 两点．
y
2t 2
（1）写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程；
（2）若点 P 的极坐标为 2，π，PM PN 5 2 ，求 a 的值．
【答案】（1）曲线 C 的直角坐标方程为：
x a2 y 12 a2 1，直线 l 的普通方程为 y x 2 ．
（2） a 2 ．
【解析】（1）由 2sin 2acos a 0 ，得 2 2sin 2acos a 0 ，
所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2 y2 2 y 2ax ，
即 x a2 y 12 a2 1，直线 l 的普通方程为 y x 2 ．
（2）将直线
l
的参数方程
x
2 t, 2 代入 x2 y2 2 y 2ax 并化简、整理，
y
2t 2
得 t2 3 2 2a t 4a 4 0 ．因为直线 l 与曲线 C 交于 M，N 两点．
2
所以 Δ 3 2 2a 44a 4 0 ，解得 a 1．
由根与系数的关系，得 t1 t2 3 2 2a，t1t2 4a 4 ．
因为点 P 的直角坐标为 2，0 ，在直线 l 上．所以 PM PN t1 t2 3 2 2a 5 2 ，
